[SOLUZIONE] F.A.S.T. II - 15/02/2007

TRACCIA


QUESITO 3


a) Per la modulazione AM, abbiamo che l'SNR in uscita è dato da:

$ (\frac{S}{N})_{O,AM} = \frac{a^2 P_{M_n}}{1 + a^2 P_{M_n}} (\frac{S}{N})_{b} = \frac{a^2 P_{M_n}}{1 + a^2 P_{M_n}} \frac{P_R}{N_0 W} >= 10^3 \ \ (30 dB) $

quindi

$ P_R >= \frac{33}{8} \cdot 10^{-8} \ \ (= P_{R_min}) $

La massima attenuazione si ha per la minima $ P_R $, ovvero

$ L_{MAX} = \frac{P_T}{P_{R_min}} = \frac{8}{33} \cdot 10^9 \ \ (83.8 dB) $




Per la modulazione FM, abbiamo che la banda passante è di 150 KHz. Utilizzando la regola di Carson vediamo che

$ B_c = 2(\beta_{f} + 1)W <= B \ => \ \beta_{f} <= 6.5 $

Quindi gli unici indici di modulazione consentiti sono 1 e 5 poiché con $ \beta_{f} = 10 $ andiamo oltre la banda passante.
L'SNR in uscita è:

$ (\frac{S}{N})_{O,FM} = 3 \beta_{f}^{2} P_{M_n} (\frac{S}{N})_{b} = 3 \beta_{f}^{2} P_{M_n} \frac{P_R}{N_0 W} >= 10^3 \ \ (30 dB) $

e quindi

$ P_R >= \frac{1}{\beta_{f}^{2}} \ cdot \frac{2}{3} \cdot 10^{-8} \ \ (=P_{R_min}) $

La massima attenuazione si ha per la minima $ P_R $, ovvero

$ L_{MAX} = \frac{P_T}{P_{R_min}} = \frac{3}{2} \beta_{f}^{2} \cdot 10^9 = {(\frac{3}{2} \cdot 10^9 \ \ (91.76 dB), \ \ \ \text{se} \ \beta_{f}=1),(\ ,\ ),(\frac{75}{2} \cdot 10^9 \ \ (105.74 dB), \ \ \ \text{se} \ \beta_{f}=5):} $




QUESITO 4

Innanzitutto calcoliamo l'energia dei due segnali:

$ \epsilon_{1} = \int_{-oo}^{+oo} |s_1(t)|^2 dt = 0 $

$ \epsilon_{2} = \int_{-oo}^{+oo} |s_2(t)|^2 dt = \int_{0}^{T} A^2 dt = A^2 T $

Poi troviamo una base ortonormale per lo spazio dei segnali utilizzando la procedura di Gram-Schmidt e partendo dal segnale $ s_2(t) $:

$ \psi_{2}(t) = \frac{s_2(t)}{\sqrt{\epsilon_{2}}} = \frac{s_2(t)}{A \sqrt{T}} = \frac{1}{\sqrt{T}} \ \ , \ \ 0 <= t <= T $

Caloliamo la proiezione del segnale $ s_1(t) $ su $ s_2(t) $:

$ c_{12} = \int_{-oo}^{+oo} s_1(t) \cdot \psi_{2}(t) dt = 0 $

Quindi i due segnali si posson rappresentar come:

$ S_1 = 0 \ \ $ e $ \ \ S_2 = A \sqrt{T} $

Sappiamo inoltre che le probabilità di trasmettere i due segnali sono:

$ P(S_1) = p \ \ $ e $ \ \ P(S_2) = 1 - p $




a) L'energia media è data da:

$ \epsilon_{AV} = \sum_{m=1}^{M} P(S_m) \cdot \epsilon_{m} = (1-p) \cdot A^2 T $




La struttura del ricevitore ottimo è la seguente:

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A questo punto ricaviamo le PDF condizionali dei due segnali:

$ f(r|S_1) = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{(r-\sqrt{\epsilon_{1}})^2}{N_0}} = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{r^2}{N_0}} $

$ f(r|S_2) = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{(r-\sqrt{\epsilon_{2}})^2}{N_0}} = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{(r-A\sqrt{T})^2}{N_0}} $

Il valore di soglia si ricava ponendo

$ P(S_1) f(r|S_1) {:(S_1),(>),(<),(S_2):} P(S_2) f(r|S_2) \ => \ \frac{f(r|S_1)}{f(r|S_2)} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} \frac{P(S_2)}{P(S_2)} \ => \ \frac{\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{r^2}{N_0}}}{\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{(r-A\sqrt{T})^2}{N_0}}} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} \frac{1-p}{p} \ =>$

$ => \frac{(r-a\sqrt{T})^2 - r^2}{N_0} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} \ln(\frac{1-p}{p}) \ => \ r^2 - 2 A \sqrt{T} r + A^2 T - r^2 {:(S_1),(>),(<),(S_2):} N_0 \cdot \ln(\frac{1-p}{p}) \ => $

$ => 2 A \sqrt{T} r {:(S_2),(>),(<),(S_1):} A^2 T - N_0 \cdot \ln(\frac{1-p}{p}) \ => \ r {:(S_2),(>),(<),(S_1):} \frac{A \sqrt{T}}{2} - \frac{N_0}{2 A \sqrt{T}} \cdot \ln(\frac{1-p}{p}) $

Quindi il valore di soglia sarà proprio $ \frac{A \sqrt{T}}{2} - \frac{N_0}{2 A \sqrt{T}} \cdot \ln(\frac{1-p}{p}) $



SORGENTE:

[url=http://www.r0x.it/viewtopic.php?f=41&t=2197]TRACCIA[/url]





[u][b]QUESITO 3[/b][/u]





[b]a)[/b] Per la modulazione AM, abbiamo che l'SNR in uscita è dato da:



\$ (\frac{S}{N})_{O,AM} = \frac{a^2 P_{M_n}}{1 + a^2 P_{M_n}} (\frac{S}{N})_{b} = \frac{a^2 P_{M_n}}{1 + a^2 P_{M_n}} \frac{P_R}{N_0 W} >= 10^3 \ \ (30 dB) \$



quindi



\$ P_R >= \frac{33}{8} \cdot 10^{-8} \ \ (= P_{R_min}) \$



La massima attenuazione si ha per la minima \$ P_R \$, ovvero



\$ L_{MAX} = \frac{P_T}{P_{R_min}} = \frac{8}{33} \cdot 10^9 \ \ (83.8 dB) \$









[b]b)[/b] Per la modulazione FM, abbiamo che la banda passante è di 150 KHz. Utilizzando la regola di Carson vediamo che



\$ B_c = 2(\beta_{f} + 1)W <= B \ => \ \beta_{f} <= 6.5 \$



Quindi gli unici indici di modulazione consentiti sono 1 e 5 poiché con \$ \beta_{f} = 10 \$ andiamo oltre la banda passante.

L'SNR in uscita è:



\$ (\frac{S}{N})_{O,FM} = 3 \beta_{f}^{2} P_{M_n} (\frac{S}{N})_{b} = 3 \beta_{f}^{2} P_{M_n} \frac{P_R}{N_0 W} >= 10^3 \ \ (30 dB) \$



e quindi



\$ P_R >= \frac{1}{\beta_{f}^{2}} \ cdot \frac{2}{3} \cdot 10^{-8} \ \ (=P_{R_min}) \$



La massima attenuazione si ha per la minima \$ P_R \$, ovvero



\$ L_{MAX} = \frac{P_T}{P_{R_min}} = \frac{3}{2} \beta_{f}^{2} \cdot 10^9 = {(\frac{3}{2} \cdot 10^9 \ \ (91.76 dB), \ \ \ \text{se} \ \beta_{f}=1),(\ ,\ ),(\frac{75}{2} \cdot 10^9 \ \ (105.74 dB), \ \ \ \text{se} \ \beta_{f}=5):} \$







[u][b]QUESITO 4[/b][/u]



Innanzitutto calcoliamo l'energia dei due segnali:



\$ \epsilon_{1} = \int_{-oo}^{+oo} |s_1(t)|^2 dt = 0 \$



\$ \epsilon_{2} = \int_{-oo}^{+oo} |s_2(t)|^2 dt = \int_{0}^{T} A^2 dt = A^2 T \$



Poi troviamo una base ortonormale per lo spazio dei segnali utilizzando la procedura di Gram-Schmidt e partendo dal segnale \$ s_2(t) \$:



\$ \psi_{2}(t) = \frac{s_2(t)}{\sqrt{\epsilon_{2}}} = \frac{s_2(t)}{A \sqrt{T}} = \frac{1}{\sqrt{T}} \ \ , \ \ 0 <= t <= T \$



Caloliamo la proiezione del segnale \$ s_1(t) \$ su \$ s_2(t) \$:



\$ c_{12} = \int_{-oo}^{+oo} s_1(t) \cdot \psi_{2}(t) dt = 0 \$



Quindi i due segnali si posson rappresentar come:



\$ S_1 = 0 \ \ \$ e \$ \ \ S_2 = A \sqrt{T} \$



Sappiamo inoltre che le probabilità di trasmettere i due segnali sono:



\$ P(S_1) = p \ \ \$ e \$ \ \ P(S_2) = 1 - p \$









[b]a)[/b] L'energia media è data da:



\$ \epsilon_{AV} = \sum_{m=1}^{M} P(S_m) \cdot \epsilon_{m} = (1-p) \cdot A^2 T \$









[b]b)[/b] La struttura del ricevitore ottimo è la seguente:



[attachment=0]20070215_1.jpeg[/attachment]



A questo punto ricaviamo le PDF condizionali dei due segnali:



\$ f(r|S_1) = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{(r-\sqrt{\epsilon_{1}})^2}{N_0}} = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{r^2}{N_0}} \$



\$ f(r|S_2) = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{(r-\sqrt{\epsilon_{2}})^2}{N_0}} = \frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{(r-A\sqrt{T})^2}{N_0}} \$



Il valore di soglia si ricava ponendo



\$ P(S_1) f(r|S_1) {:(S_1),(>),(<),(S_2):} P(S_2) f(r|S_2) \ => \ \frac{f(r|S_1)}{f(r|S_2)} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} \frac{P(S_2)}{P(S_2)} \ => \ \frac{\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{r^2}{N_0}}}{\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}} \cdot e^{-\frac{(r-A\sqrt{T})^2}{N_0}}} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} \frac{1-p}{p} \ =>\$



\$ => \frac{(r-a\sqrt{T})^2 - r^2}{N_0} {:(S_1),(>),(<),(S_2):} \ln(\frac{1-p}{p}) \ => \ r^2 - 2 A \sqrt{T} r + A^2 T - r^2 {:(S_1),(>),(<),(S_2):} N_0 \cdot \ln(\frac{1-p}{p}) \ => \$



\$ => 2 A \sqrt{T} r {:(S_2),(>),(<),(S_1):} A^2 T - N_0 \cdot \ln(\frac{1-p}{p}) \ => \ r {:(S_2),(>),(<),(S_1):} \frac{A \sqrt{T}}{2} - \frac{N_0}{2 A \sqrt{T}} \cdot \ln(\frac{1-p}{p}) \$



Quindi il valore di soglia sarà proprio \$ \frac{A \sqrt{T}}{2} - \frac{N_0}{2 A \sqrt{T}} \cdot \ln(\frac{1-p}{p}) \$

sul quesito 3 , 2 precisazioni:

1. Va sempre e cmq definito il limite dovuto all'effetto soglia, cioè va cmq confrontato il risultato ottenuto con il SNR, poichè se

$P_(R_(SNR)) <= P_(R_(ThE))$

con

$P_(R_(ThE)) >= 20(beta_(f) + 1)N_0W$

il risultato da prendere è $P_(R_(ThE))$. In questo caso, però, abbiamo sia per $beta_(f)$ uguale a 1 che uguale a 5 $P_(R_(SNR)) >= P_(R_(ThE))$

2. Risulta dalla formula del SNR per la FM

$P_® >= (N_(0)W(S/N)_(0))/(3 beta_(f)^2 P_(M_n))$

andando a sostituire

$P_® >= 10^-8 / (3 * 0.5 * beta_(f)^2)$

quindi là non è 3/2 ma 2/3

Ok. Mi trovo con la tua seconda osservazione. Avevo sbagliato a fare i calcoli.
Cmq l'ho sistemata!
Mentre per la prima non ho capito bene... Dovevo calcolarmi $(S/N)_{b,th}$ e imporre che sia maggiore dell'SNRo?
Se non ti dispiace potresti correggere tu? C'è il sorgente in fondo al primo post. Modifichi solo la parte che non va e poi se me lo mandi aggiorno la soluzione.

Grazie!

Forse mi son malspiegato io: non devi confrontare, ma devi soltanto ricordarti del fatto che esiste quel limite minimo dovuto all'effetto soglia! Se la potenza minima che ti calcoli con quel $beta_f$ risulti minore della potenza minima dovuta all'effetto soglia (impostato ovviamente il SNR in funzione di $P_R$) si commette un errore a livello teorico (e l'esame va nel WC)

Allora, vediamo se ho capito...
Abbiamo come ulteriore limite la soglia dell'SNRb, cioè:

$ (S/N)_{b,th} = \frac{P_{R,th}}{N_0 W} = 20(\beta_{f} +1) $

ovvero

$ P_{R,th} = 20(\beta_{f} +1)WN_0 = {(4 \cdot 10^-10, \ \ \ \text{se} \ \beta_{f}=1),(\ ,\ ),(12 \cdot 10^-10, \ \ \ \text{se} \ \beta_{f}=5):} $

Quindi la potenza ricevuta non potrà essere minore di tale limite.

$ P_{R_{min}} >= P_{R,th} $

Se mi calcolo la potenza ricevuta come ho fatto sopra, otterremo:

$ P_{R_min} = \frac{1}{\beta_{f}^{2}} \ cdot \frac{2}{3} \cdot 10^{-8} = {(\frac{2}{3} \cdot 10^-8, \ \ \ \text{se} \ \beta_{f}=1),(\ ,\ ),(\frac{2}{75} \cdot 10^-8, \ \ \ \text{se} \ \beta_{f}=5):} $

Dalla quale si capisce che neppure $beta_{f}=5$ è consentito come indice di modulazione.

E' giusto in questo modo? Se sì lo correggo, altrimenti veramente non ho capito niente!

ma certo che 5 è un valore valido per $beta_f$! È una sorta di controllo quello che tutto abbia un senso fisico...

Non fare confusione, ho detto questo perchè ricordo che in un vecchio corso Conte o Postiglione (non ricordo) fece quel check volutamente e ci disse che cmq andava fatto anche se ad occhio si vedeva che il limite dovuto dall'effetto soglia era rispettato

Non sono un mago a farmi spiegare, lo so...

Allora, il concetto alla base è semplice: noi troviamo con la regola dell'effetto soglia il valore minimo fisico entro cui è ricevibile una $P_R$, poi noi cmq andiamo a calcolare con la regola della SNR la $P_R$ relativa alla $beta_f$, che è il risultato che conta. Quella lì è soltanto una sorta di controllo che la fisicità del problema non sia violata, chiaro?

Scusa, ma se noi abbiamo un limite fisico per la potenza ricevuta, e per $\beta_{f}=5$ tale limite non è rispettato, non si esclude in automatico?
Me ne sto andando in confusione!

Scusa, ma se noi abbiamo un limite fisico per la potenza ricevuta, e per $\beta_{f}=5$ tale limite non è rispettato, non si esclude in automatico?
Me ne sto andando in confusione!

quello è relativo alla Banda di Carson (cioè dove non posso andare oltre sopra), io sto usando anche il limite dovuto all'effetto soglia (dove non posso andare oltre sotto).
Per farti capire, la traccia del 4 maggio 2007 presenta una casistica del genere

Per farti capire, la traccia del 4 maggio 2007 presenta una casistica del genere

Ok. Allora mi spieghi quello che vuoi dire riferendoti a quella traccia? Perché lì si è seguito lo stesso ragionamento...
Scusa, non voglio essere pesante! E' solo che proprio non capisco...

scusa, il concetto è cosi semplice che mi stai portando involontariamente...
Noi per calcolare l'SNR in uscita in una modulazione FM abbiamo bisogno del SNR in banda base, il quale dalla teoria sappiamo essere limitato in basso dall'effetto soglia, giusto? Se scendiamo sotto quel limite, segnale e rumore risultano indistinguibili l'uno dall'altro...
Ora, siccome l SNR in banda base dipende da $P_R$ (fissate costanti $N_0$ e $W$ ovviamente), vuol dire che esiste un valore minimo al di sotto della quale $P_R$ non può scendere. Difatti:

$SNR_(BB_(th)) = 20(beta_(f) +1) => SNR_(BB) >= 20(beta_(f)+1) => P_R/(N_0 W) >= 20(beta_(f) +1)$

Quindi di fatto per calcolare $P_R$ dobbiamo risolvere un sistema:

$\{(P_R/(N_0 W) >= 20(beta_(f) +1)),(P_R>=(N_0 W (S/N)_0)/(3 beta_f^2 P_(M_n))))$


Fattosta che cmq come l'avete risolto voi va benissimo, questa cosa qui è soltanto un di più che ci disse chi ce lo disse (Conte o Postiglione) per essere sicuri che la soluzione sia fisicamente valida (cioè è un caso rarissimo quello di una probabile discesa sotto la soglia)

La traccia di maggio scusa non centra, sbagliato a fare conti

ovviamente non posso non dare fastidio con i miei problemi pre-esame

svolgendo l'esercizio 3, in particolare la parte dell' FM, facendo opportuni calcoli esce fuori che, con la regola di Carson, $beta_(f) <= 6.5$, che quindi rende impossibile usare $beta_(f) = 10$, come già detto dal collega mib85.

però, se andiamo a verificare come i rimanenti indici di modulazione influenzano l'effetto soglia, abbiamo:

con $beta_(f)= 1$ risulta $(S/N)_(th1) = 3*1*0.5*20*(1+1) = 60 < 10^3$, per cui questo limite risulta rispettato

con $beta_(f) = 5$ risulta $(S/N)_(th5) = 3*25*0.5*20*(5+1) = 4500 > 10^3$, che non risulta rispettato

ergo, l'unico valore di beta accettabile è proprio 1, se si vuole mantenere l'SNR in uscita pari ad almeno 30dB, perciò la perdita massima va calcolata soltanto per beta pari ad 1...

o no?

dopo una sana discussione con d-enzo ecco la conclusione a tutto:

con $beta_(f) = 5$ risulta $(S/N)_(th5) = 3*25*0.5*20*(5+1) = 4500 > 10^3$

pertanto il limite inferiore all' SNR di 30dB non basta, ma dobbiamo imporre un nuovo limite inferiore all' SNR, che deve essere pari almeno a 4500 (36.53 dB). pertanto il valore dell'attenuazione massima calcolato da mib85 non va bene, e quello reale va ricalcolato tenendo conto del nuovo limite inferiore dell'SNR.

volendo ragionare all'inverso, vogliamo trovare i valori di beta che soddisfano la disequazione:
$2*beta_(f)^2*0.5*20*(1+beta_(f)) <= 1000$

che ci dà $beta_(f) <= 2.92$! Quindi, come già detto, il beta è troppo alto, e per usare un beta più alto dobbiamo aumentare il limite inferiore all' SNR.

in definitiva abbiamo che:
$L*P_(t) * 10^11 * 3 * beta_(f)^2 * 0.5 >= 4500$

risolvendo rispetto ad L, e noti beta = 5 e Pt = 10W, abbiamo:

$L >= (2*4500*10^-12)/(3*25) = -7.91 dB$ per $beta_(f) = 5$

Scusate ma il primo punto sulla modulazione AM non mi trovo con voi per ciò che riguarda l'esponente di 10..... posto il mio svolgimento:

L'SNR in uscita al ricevitore nel caso di una modulazione AM-convenzionale risulta essere cosi definito:

$ (\frac{S}{N})_{O,AM} = \frac{a^2 P_{M_n}}{1 + a^2 P_{M_n}} (\frac{S}{N})_{b} = \frac{a^2 P_{M_n}}{1 + a^2 P_{M_n}} \frac{P_R}{N_0 W} >= 10^3 \ \ (30 dB) $

Noi siamo interessati a definire la diseguaglianza sulla potenza ricevuta, quindi:

$ [(0.8)^2 (0.5) ] / [ 1 + (0.8)^2 (0.5)] * P_R / (10^(-15) 10^4) = 0.32 / 1.32 * P_R >= 10^(14) $

quindi

$ P_R >= 4,125 * 10^(14) W$

e quindi la massima attenuazione sarà pari a:

$ L = P_T / P_R = 10 / (4.125 * 10^(14)) = 1/4.125 * 10^(-13)$

EDIT: stesso discorso per la parte relativa alla FM

so che forse qualcuno mi salterà addosso per questa domanda , ma cos'è il valore della soglia richiesto nella traccia?? Il valore diciamo di congiunzione tra le due regioni di decisione??.... veramente non lo so, mai incontrato...

hai fatto un errore matematico

$ [(0.8)^2 (0.5) ] / [ 1 + (0.8)^2 (0.5)] * P_R / (10^(-15) 10^4) = 0.32 / 1.32 * P_R/(10^-11) >= 10^(3) $

da cui

$0.32 / 1.32 * P_R >= 10^(-8)$ e quindi $P_R >= (1.32/0.32)*10^(-8)$

ammazza ke st****o....perdonami ma sti esercizi senza soluzione di fast mi stanno mandando fuori di testa

Confermo che Bf uguale a 5 non è fisicamente utilizzabile, dal vincolo in potenza.

Appena ho un pò di tempo, posto la soluzione giusta che è riscontrabile nella lettura del post per intero.
La conclusione è che Bf pari a 5 non è utilizzabile; quando si risolve l'equazione di terzo grado, si può "non considerare" il termine 1in parentesi, anche se la soluzione non è poi precisa, ma l'ordine di grandezza si, ed è sufficiente per capire se il Blimite che si sta calcolando è maggiore dei B indicati nell'esercizio, altrimenti alcuni B vanno eliminati, come B = 10 (perchè non verifica il limite in banda) e B=5(perchè non rispetta il vincolo in potenza )