[SOLUZIONE] F.A.S.T. II - 04/05/2007

TRACCIA

Quesito 3:

a) Per la modulazione SSB abbiamo che l'SNR in uscita è dato da:

$(S/N)_{o, SSB} = P_R/(N_0W) = P_R*10^8 >= 10^(2,6)$ $(26dB)$

quindi:

$P_R >= 10^(-5,4)$ $(= P_(R_min))$

La minima potenza in trasmissione si ha per la minima potenza ricevuta, ovvero:

$P_(T_min)=L*P_(R_min)=10^7 * 10^(-5,4) = 10^(1,6) ~~ 39,8$ Watt

Per la modulazione AM abbiamo che l'SNR in uscita è dato da:

$(S/N)_{o,AM}=(a^2P_(M_n))/(1+a^2P_(M_n))(S/N)_(bb)=(a^2P_(M_n))/(1+a^2P_(M_n))P_R/(N_0W)=(49/349)P_R*10^8>= 10^(2,6)$ $(26dB)$

quindi:

$P_R >=(349/49)*10^(2,6)*10^-8 = (349/49)*10^(-5,4)$$(= P_(R_min))$

La minima potenza in trasmissione si ha per la minima potenza ricevuta:

$P_(T_min)=L*P_(R_min)=10^7 * (349/49)*10^(-5,4)=(349/49)*10^(1,6)~~283,5$ Watt

c) Per la modulazione FM abbiamo che la banda passante è di 90 KHz; utilizzando la regola di Carson abbiamo che:

$B_c=2W(beta_f +1)<=B rArr beta_{f} <= 3,5$

Quindi gli indici di modulazione consentiti sono 2 e 3.
L'SNR in uscita è:

$(S/N)_{o,FM}=(S/N)_{bb} 3beta_{f}^2P_(M_n)=3beta_{f}^2P_(M_n)P_R/(N_0W)=beta_{f}^2P_R*10^8>=10^(2,6) (26dB)$

quindi:

$P_R>= 1/beta_{f}^2 *10^(-5,4)$ $(= P_(R_min))$

La minima potenza in trasmissione si ha per la minima potenza ricevuta:

$P_(T_min)=L*P_(R_min)=10^7*10^(-5,4)*1/beta_{f}^2=1/beta_{f}^2*10^(1,6)=$
$=9,9$ Watt per $beta_{f}=2$
$=4,4$ Watt per $beta_{f}=3$

Quesito 4:

a) Base ortonormale per lo spazio dei segnali:

Per prima cosa calcoliamo l'energia dei 5 segnali:

$varepsilon_{1}=int_{0}^{T}A^2sin^2((2pit)/T)\dt=(A^2T)/2$
$varepsilon_{2}=0$
$varepsilon_{3}=varepsilon_{1}=(A^2T)/2$
$varepsilon_{4}=varepsilon_{1}=(A^2T)/2$
$varepsilon_{5}=varepsilon_{1}=(A^2T)/2$

Utilizziamo ora la procedura di Gram-Shmidt:

$Psi_{1}= (s_{1}(t))/sqrt(varepsilon_{1})=(Asin((2pit)/T))/(Asqrt{T}/sqrt{2})=sqrt{2}/sqrt{T}sin((2pit)/T)$ per $0<=t<=T$

Calcoliamo la proiezione di s2(t) su s1(t):

$c_{21}=int_{-oo}^{+oo}s_{2}(t)*Psi_{1}(t)\dt=0$

Calcoliamo la proiezione di s3(t) su s1(t):

$c_{31}=int_{-oo}^{+oo}s_{3}(t)*Psi_{1}(t)\dt=-A*sqrt{2}/sqrt{T}int_{0}^{T/2}sin^2((2pit)/T)\dt+A*sqrt{2}/sqrt{T}int_{T/2}^{T}sin^2((2pit)/T)\dt=0$

$Psi_{3}= (s_{3}(t))/sqrt(varepsilon_{3})= -(sqrt{2}/(A*sqrt{T}))*|s_{1}(t)|={(-sqrt(2)/sqrt(T)*sin((2pit)/T), \ \ \ \text{se} \ \0<=t<=T/2),(\ ,\ ),(sqrt(2)/sqrt(T)*sin((2pit)/T), \ \ \ \text{se} \ \T/2<=t<=T):}

Calcoliamo la proiezione di s4(t) su s1(t):

$c_{41}=-int_{0}^{T}A*sin((2pit)/T)*sqrt(2)/sqrt(T)*sin((2pit)/T)\dt=-Asqrt(2)/sqrt(T)*T/2=-Asqrt(2)/sqrt(T)$

Calcoliamo la proiezione di s4(t) su s3(t):

$c_{43}=int_{0}^{T/2}A*sin((2pit)/T)*sqrt(2)/sqrt(T)*sin((2pit)/T)\dt-int_{T/2}^{T}A*sin((2pit)/T)*sqrt(2)/sqrt(T)*sin((2pit)/T)\dt=0$

$d_{4}(t)=s_{4}(t)-c_{41}*Psi_{1}(t)=s_{4}(t)+A*sqrt(T)/sqrt(2)*sqrt{2}/(Asqrt{T})= -s_{1}(t)+s_{1}(t)=0$

$Psi_{4}(t)=d_{4}/sqrt(varepsilon_{4})=0$

Proiezione di s5(t) su s3(t):

$c_{53}=-A*sqrt(T)/sqrt(2)$

La rappresentazione vettoriale dei segnali è la seguente:

$S_{1}=(Asqrt(T)/sqrt(2);0)$
$S_{2}=(0;0)$
$S_{3}=(0;Asqrt(T)/sqrt(2))$
$S_{4}=(-Asqrt(T)/sqrt(2);0)$
$S_{5}=(0;-Asqrt(T)/sqrt(2))$

Costellazione dei segnali:
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c) Struttura del ricevitore ottimo e relative regioni di decisione:
 IMG.jpg   13,27K   1966 Download

I 5 messaggi sono equiprobabili, questo vuol dire che:
$P(s_1)=P(s_2)=P(s_3)=P(s_4)=P(s_5)= 1/5$

Le PDF condizionali sono:

$f(r|S_1)= 1/(pi*N_0)*e^{(-(r_1-Asqrt(T)/sqrt(2))^2+r_2^2)/N_0}$
$f(r|S_2)= 1/(pi*N_0)*e^{-(r_1^2+r_2^2)/N_0}$
$f(r|S_3)= 1/(pi*N_0)*e^{-(r_2^2+(r_1-Asqrt(T)/sqrt(2))^2)/N_0}$
$f(r|S_4)= 1/(pi*N_0)*e^{(-(r_1+Asqrt(T)/sqrt(2))^2+r_2^2)/N_0}$
$f(r|S_5)= 1/(pi*N_0)*e^{-(r_2^2+(r_1+Asqrt(T)/sqrt(2))^2)/N_0}$

Valore di soglia tra S1 e S2:

$f(r|S_1)/f(r|S_2){:(S_1),(>),(<),(S_2):}(P(s_2))/(P(s_1))$$=>$$r_1{:(S_1),(>),(<),(S_2):}A/2sqrt(T)/sqrt(2)$

Valore di soglia tra S1 e S3:

$f(r|S_1)/f(r|S_3){:(S_1),(>),(<),(S_3):}(P(s_3))/(P(s_1))$$=>$$r_1{:(S_1),(>),(<),(S_3):}r_2$

Valore di soglia tra S1 e S4:

$f(r|S_1)/f(r|S_4){:(S_1),(>),(<),(S_4):}(P(s_4))/(P(s_1))$$=>$$r_1{:(S_1),(>),(<),(S_4):}0$

Valore di soglia tra S1 e S5:

$f(r|S_1)/f(r|S_5){:(S_1),(>),(<),(S_5):}(P(s_5))/(P(s_1))$$=>$$r_2{:(S_1),(>),(<),(S_5):}A/2sqrt(T)/sqrt(2)$

Valore di soglia tra S2 e S3:

$f(r|S_2)/f(r|S_3){:(S_2),(>),(<),(S_3):}(P(s_3))/(P(s_2))$$=>$$r_2{:(S_2),(>),(<),(S_3):}A/2sqrt(T)/sqrt(2)$

Valore di soglia tra S2 e S4:

$f(r|S_2)/f(r|S_4){:(S_2),(>),(<),(S_4):}(P(s_4))/(P(s_2))$$=>$$r_1{:(S_2),(>),(<),(S_4):}-A/2sqrt(T)/sqrt(2)$

Valore di soglia tra S2 e S5:

$f(r|S_2)/f(r|S_5){:(S_2),(>),(<),(S_5):}(P(s_5))/(P(s_2))$$=>$$r_2{:(S_2),(>),(<),(S_5):}-A/2sqrt(T)/sqrt(2)$

Valore di soglia tra S3 e S4:

$f(r|S_3)/f(r|S_4){:(S_3),(>),(<),(S_4):}(P(s_4))/(P(s_3))$$=>$$r_1{:(S_3),(>),(<),(S_4):}-r_2$

Valore di soglia tra S3 e S5:

$f(r|S_3)/f(r|S_5){:(S_3),(>),(<),(S_5):}(P(s_5))/(P(s_3))$$=>$$r_2{:(S_3),(>),(<),(S_5):}0$

Valore di soglia tra S4 e S5:

$f(r|S_4)/f(r|S_5){:(S_4),(>),(<),(S_5):}(P(s_5))/(P(s_4))$$=>$$r_2{:(S_4),(>),(<),(S_5):}r_1$

Nel file qui sotto ci sono i grafici dei valori di soglia e delle regioni di decisione
[attachment=0]soglia+regioni.rar[/attachment]

d) La probabilità che si commetta un errore, ovvero che si scelga un segnale piuttosto che un altro, riguarda soltanto i segnali le cui regioni sono contigue. Ad esempio, ricevuto il segnale $ S_1 $, si può commettere un errore e scegliere $ S_2 $, $ S_3 $, oppure $ S_5 $, ma non $ S_4 $.
Le probabilità di errore sono quindi:

$ P(e|S_1) <= Q(\frac{d_{12}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{13}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{15}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_2) <= Q(\frac{d_{12}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{23}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 4Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_3) <= Q(\frac{d_{13}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{23}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{34}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_4) <= Q(\frac{d_{24}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{34}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{45}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_5) <= Q(\frac{d_{15}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{45}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

La probabilità di errore per simbolo, utilizzando la tecnica dell'union bound, è:

$ P_M <= \sum_{i=1}^{M} P(S_i) \cdot P(e|S_i) = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{M} P(e|S_i) = $
$ = \frac{8}{5}Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + \frac{8}{5}Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}});

Ottimo! Devi solo correggere un esponente nel punto b che è $ 10^(-5.4) $ e non $ 10^(-5.6) $.
Cmq ho ricontrollato lo svolgimento, e il punto d del quesito 4 è sbagliato.
Non mi è chiaro come si utilizzi l'Union Bound (e neppure come si calcoli la probabilità di errore per simbolo esatta)...
C'è qualche anima pia in grado di darmi (o darci) qualche chiarimento?

La probabilità per simbolo esatta è quella senza approssimazioni...Perchè non postate anche la traccia scritta con lo script? E' uno scristo aiutarvi quando poi si deve scaricà tutto . Sono pigro.

Eccoti accontentato!!!

Probabilità d'errore per simbolo con tecnica union bound:

E' la sommatoria su M delle probabilità di errore per ogni simbolo (1/M se equiprobabili) moltiplicate per le relative probabilità condizionate calcolate con la tecnica dell'union bound.

Con l'union bound va prima di tutto graficata la costellazione; in secondo luogo vanno trovate le distanze, dal punto in considerazione a i punti adiacenti (in pratica quelli dei confini della nostra regione considerata).

Alla fine per ogni simbolo avremo tante Q function quante più regioni avremo adiacenti. Ogni Q function sarà, essendo m il punto che stiamo considerando e j quello adiacente

$ Q(d_{mj}/sqrt{2N_o}) $

Nel caso di costellazioni simmetriche avrai tante Q simili che alla fine si sommeranno tra di loro. Le distanze puoi calcolarle con teoremi di pitagora e simili

Purtroppo il concetto è un pò complicato da spiegare su un forum.

Il punto d dovrebbe essere così:

d) La probabilità che si commetta un errore, ovvero che si scelga un segnale piuttosto che un altro, riguarda soltanto i segnali le cui regioni sono contigue. Ad esempio, ricevuto il segnale $ S_1 $, si può commettere un errore e scegliere $ S_2 $, $ S_3 $, oppure $ S_5 $, ma non $ S_4 $.
Le probabilità di errore sono quindi:

$ P(e|S_1) <= Q(\frac{d_{12}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{13}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{15}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_2) <= Q(\frac{d_{12}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{23}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 4Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_3) <= Q(\frac{d_{13}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{23}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{34}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_4) <= Q(\frac{d_{24}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{34}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{45}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

$ P(e|S_5) <= Q(\frac{d_{15}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{45}}{\sqrt{2N_0}}) = $
$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $

La probabilità di errore per simbolo, utilizzando la tecnica dell'union bound, è:

$ P_M <= \sum_{i=1}^{M} P(S_i) \cdot P(e|S_i) = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{M} P(e|S_i) = $
$ = \frac{8}{5}Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + \frac{8}{5}Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) $



SORGENTE:

[b]d)[/b] La probabilità che si commetta un errore, ovvero che si scelga un segnale piuttosto che un altro, riguarda soltanto i segnali le cui regioni sono contigue. Ad esempio, ricevuto il segnale \$ S_1 \$, si può commettere un errore e scegliere \$ S_2 \$, \$ S_3 \$, oppure \$ S_5 \$, ma non  \$ S_4 \$.

Le probabilità di errore sono quindi:



\$ P(e|S_1) <= Q(\frac{d_{12}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{13}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{15}}{\sqrt{2N_0}}) = \$

\$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) \$



\$ P(e|S_2) <= Q(\frac{d_{12}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{23}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) = \$

\$ = 4Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) \$



\$ P(e|S_3) <= Q(\frac{d_{13}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{23}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{34}}{\sqrt{2N_0}}) = \$

\$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) \$



\$ P(e|S_4) <= Q(\frac{d_{24}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{34}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{45}}{\sqrt{2N_0}}) = \$

\$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) \$



\$ P(e|S_5) <= Q(\frac{d_{15}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{25}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{d_{45}}{\sqrt{2N_0}}) = \$

\$ = 2Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}}) \$



La probabilità di errore per simbolo, utilizzando la tecnica dell'union bound, è:



\$ P_M <= \sum_{i=1}^{M} P(S_i) \cdot P(e|S_i) = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{M} P(e|S_i) = \$

\$ = \frac{8}{5}Q(\frac{A\sqrt{T}}{\sqrt{2N_0}}) + \frac{8}{5}Q(\frac{A\sqrt{T}}{2\sqrt{N_0}});

Mi intrometto chiedendo, la base ortonormale non può essere calcolata in modo grafico? Se si all'esame come è conveniente operare? In questo caso mi eviterei un bel pò di conti con Gram-Schmidt!

Mi intrometto chiedendo, la base ortonormale non può essere calcolata in modo grafico? Se si all'esame come è conveniente operare? In questo caso mi eviterei un bel pò di conti con Gram-Schmidt!

Mi pare chiaro che se è possibile trovarne una per via grafica usi quella base...
in questo caso (cioè i seni tra $ 0 <= t <=T$)

$Psi_1 = sqrt 2/sqrt T sin((2 pi t)/T) AA 0 <= t <=T/2$
$Psi_2 = - sqrt 2/ sqrt T sin((2 pi t)/T) AA T/2 <= t <=T$

Mi intrometto chiedendo, la base ortonormale non può essere calcolata in modo grafico? Se si all'esame come è conveniente operare? In questo caso mi eviterei un bel pò di conti con Gram-Schmidt!

Mi pare chiaro che se è possibile trovarne una per via grafica usi quella base...
in questo caso (cioè i seni tra $ 0 <= t <=T$)

$Psi_1 = sqrt 2/sqrt T sin((2 pi t)/T) AA 0 <= t <=T/2$
$Psi_2 = - sqrt 2/ sqrt T sin((2 pi t)/T) AA T/2 <= t <=T$

il metodo di G-S va utilizato se espressamente richiesto nel testo
dell'esercizio, altrimenti qualsiasi metodo per individuare una base
va bene.
Saluti,

Roberto Conte

Mi intrometto chiedendo, la base ortonormale non può essere calcolata in modo grafico? Se si all'esame come è conveniente operare? In questo caso mi eviterei un bel pò di conti con Gram-Schmidt!

Mi pare chiaro che se è possibile trovarne una per via grafica usi quella base...
in questo caso (cioè i seni tra $ 0 <= t <=T$)

$Psi_1 = sqrt 2/sqrt T sin((2 pi t)/T) AA 0 <= t <=T/2$
$Psi_2 = - sqrt 2/ sqrt T sin((2 pi t)/T) AA T/2 <= t <=T$

Con il metodo ad occhio i versori trovati vanno normalizzati rispetto alla loro energia, quindi dovrebbe essere $ sqrt 4/ sqrt T

Enzo ti trovi?

hai ragione, è $2/ sqrt T$
ho fatto un conto a mente per il fattore d'ampiezza

Salve ragazzi.

In questo esercizio tramite la tecnica di Gram-Schmidt si calcola che la base ortonormale è costituita da due funzioni di base, e di conseguenza la segnalazione è bidimensionale. Ma mi sorge un dubbio: essendo i segnali tra di loro tutti dipendenti, la segnalazione non dovrebbe essere unidimensionale?? (cioè avere solo una funzione di base)

grazie per le risposte

EDIT: poi sinceramente non ho capito come si fanno a calcolare le basi in maniera grafica. Se per piacere qualcuno mi illumina. grazie mille

Salve ragazzi.

In questo esercizio tramite la tecnica di Gram-Schmidt si calcola che la base ortonormale è costituita da due funzioni di base, e di conseguenza la segnalazione è bidimensionale. Ma mi sorge un dubbio: essendo i segnali tra di loro tutti dipendenti, la segnalazione non dovrebbe essere unidimensionale?? (cioè avere solo una funzione di base)

grazie per le risposte

EDIT: poi sinceramente non ho capito come si fanno a calcolare le basi in maniera grafica. Se per piacere qualcuno mi illumina. grazie mille

Se fossero dipendenti dovrebbero giacere sulla stessa retta qualunque base ortonormale scegli, in questo caso non è così

La via grafica è praticamente utilizzata quando i segnali sono onde periodiche (seni, quadre...) e si usano come versori i periodi o i semiperiodi. IN questo caso con i seni la base per via grafica è composto da due versori, il primo con un seno tra 0 e T/2 (opportunamente scalato per renderlo di energia unitaria), il secondo tra T/2 e T.

ragazzi per quanto riguarda il quesito 3.c anke beta_{f}= 3 nn dovrebbe andare bene, o mi sbaglio???


con beta_{f}=2 risulta (S/N)_{th2}=3*4*(1/3)*20*(2+1)=240<10^2.6, per cui il limite è rispettato

con beta_{f}=3 risulta (S/N)_{th3}=3*9*(1/3)*20*(3+1)=720>10^2.6, quindi il limite non è rispettato.

Quindi l'unico valore di beta_{f} è 2. Mi sbaglio????

si, anche io mi trovo che l'unico valore di beta accettabile sia 2 per lo stesso motivo che hai postato tu.

si, anche io mi trovo che l'unico valore di beta accettabile sia 2 per lo stesso motivo che hai postato tu.

meno male