Coppie di variabili aleatorie

Ciao ragazzi volevo chiedervi una cosa, vi prego gentilmente di aiutarmi. Ho dei dubbi di statistica.

a) Se ho Z=X+Y e le variabili X e Y sono indipendenti la media di Z è la media di X più quella di Y e lo stesso vale per la varianza( chiedo conferma)

b)E se invece ho Z=X-Y?

c) e se X e Y sono dipendenti?

Ciao, non ti disperare basta applicare la definizione e risolvi tutto.
Allora:
1) se Z = X + Y, E[Z]= E[x]+E[Y], e Var[Z]=Var[X]+Var[Y]; la proprietà sulla media vale sempre. Quella sulla varianza solo in ipotesi di indipendenza.
2) è uguale alla 1, basta che metti il meno dappertutto
3) se X e Y sono dipendenti, le proprietà sulla media continuano a valere. Quelle sulla varianza no! In particolare, si ha che:
Var[Z] = Var[X+Y] = E[(X+Y)-E[X+Y]^2] = E[X+Y-E[X]^2-E[Y]^2 - 2 E[X] E[Y]]= E[X] + E[Y] - E[X]^2 - E[Y]^2 - 2 E[X] E[Y] =VAR[X]+VAR[Y]-2E[X]E[Y].

OK?
Ciao.

Grazie ancora principe! Erano esattamente i miei stessi dubbi!.

3) se X e Y sono dipendenti, le proprietà sulla media continuano a valere. Quelle sulla varianza no! In particolare, si ha che:
Var[Z] = Var[X+Y] = E[(X+Y)-E[X+Y]^2] = E[X+Y-E[X]^2-E[Y]^2 - 2 E[X] E[Y]]= E[X] + E[Y] - E[X]^2 - E[Y]^2 - 2 E[X] E[Y] =VAR[X]+VAR[Y]-2E[X]E[Y].

principe ma quel -2E[x]E[y] è semplicemente il prodotto delle medie? oppure è la correlazione? Non ho capito una cosa: come fa ad annullarsi il prodotto delle medie quando le variabili sono indipendenti? Non dovrebbe essere la correlazione tra le due variabili? ( dato che indipendenza implica incorrelazione). E poi nel procedimento che hai seguito , nel punto che hoevidenziato in grassetto, non doveva essere tutto il valore atteso al quadrato e non E[X+Y)?

E nel caso in cui ho la differenza tra X e Y devo considerare il + davanti al due?

Mi sto proprio scervellando.

Si, i fumi dell'alcool di ferragosto mi hanno dato alla testa. Mi ero accorto dell'errore già stamattina però metto adesso il conto corretto. Spero sia chiaro ora. Bisogna applicare la definizione.
Var[Z] = E[(Z-E[Z])^2]=E[Z^2 + (E[Z])^2 - 2 Z E[Z] ] = E[ (X+Y)^2 + E[X+Y]^2 -2 (X+Y) E[X+Y] ]=
= E[X^2 + Y^2 + 2 X Y + (E[X])^2 + (E[Y])^2 + 2 E[X Y] - 2 X E[X] - 2 X E[Y] -2 Y E[X] -2 Y E[Y]]=
= E[X^2] + E[Y^2] + 2 E[X Y] + (E[X])^2 + (E[Y])^2 + 2 E[X Y] - 2 (E[X])^2 - 2 E[X] E[Y] - 2 E[X] E[Y] - 2 (E[Y])^2 =
= E[X^2] + E[Y^2] - (E[X])^2 - (E[Y])^2 + 4 E[X Y] - 4 E[X] E[Y] =
= VAR[X] + VAR[Y] + 4 (E[X Y] - E[X] E[Y]) = VAR[X] + VAR[Y] + 4 COV[X,Y]
Se le variabili sono indipendenti, la covarianza è zero e tutto torna.
Bye.

Grazie tanto principe!

Un ultima cosa ( non considerarmi un rompicavolo ):


Quindi $ COV[x,y]=E[X Y] - E[X] E[Y $ cioè la covarianza tra due variabili aleatorie è anche la differenza tra la correlazione e il prodotto delle medie?
Quindi perciò nel caso gaussiano( supponendo media nulla) incorrelazione implica anche indipendenza!
E per quanto riguarda le implicazioni tra covarianza uguale a zero e indipendenza la cosa è reciproca eh nel senso che covarianza zero equivale sempre all'indipendenza?

Con questi ragionamenti posso dimostrare due cose: aver capito tutto o non aver capito niente! :lmfao:


Ti ricordo cmq che secondo il regolamento del forum bisogna usare il tag math ( che trovi nelle barra sopra) per postare formule anche se nel nostro caso non è che sia molto necessario! la prossima volta cerca di usarlo!

Grazie dell'aiuto cmq :D Ciao.

Si, i fumi dell'alcool di ferragosto mi hanno dato alla testa. Mi ero accorto dell'errore già stamattina però metto adesso il conto corretto. Spero sia chiaro ora. Bisogna applicare la definizione.
Var[Z] = E[(Z-E[Z])^2]=E[Z^2 + (E[Z])^2 - 2 Z E[Z] ] = E[ (X+Y)^2 + E[X+Y]^2 -2 (X+Y) E[X+Y] ]=
= E[X^2 + Y^2 + 2 X Y + (E[X])^2 + (E[Y])^2 + 2 E[X Y] - 2 X E[X] - 2 X E[Y] -2 Y E[X] -2 Y E[Y]]=
= E[X^2] + E[Y^2] + 2 E[X Y] + (E[X])^2 + (E[Y])^2 + 2 E[X Y] - 2 (E[X])^2 - 2 E[X] E[Y] - 2 E[X] E[Y] - 2 (E[Y])^2 =
= E[X^2] + E[Y^2] - (E[X])^2 - (E[Y])^2 + 4 E[X Y] - 4 E[X] E[Y] =
= VAR[X] + VAR[Y] + 4 (E[X Y] - E[X] E[Y]) = VAR[X] + VAR[Y] + 4 COV[X,Y]
Se le variabili sono indipendenti, la covarianza è zero e tutto torna.
Bye.

Ops...mi sto facendo delle pippe mentali pesanti, molto...

Hai scritto (E[X+Y])^2=(E[X])^2 + (E[Y])^2 + 2 E[X Y]

Io invece ritengo che (E[X+Y])^2=(E[X])^2 + (E[Y])^2 + 2 E[X] E[Y]

Applicando la definizione di covarianza ho anche visto che
Cov[x,y]=2E[xy]-2E[x]E[y]

Secondo me

$ VAR[Z]= Var[X]+Var[Y]+2 Cov[x,y]. $



Grazie tanto per avermi messo sulla strada giusta principe però quel 4 mi puzza molto perchè di solito (detto informalmente) quando si fa una operazione A su una somma si ha sempre la somma delle singole A più( o meno) due volte "qualcosa in comune".

Cmq aspetto la tua conferma principe!

Ci sono due punti in cui hai potuto commettere qualche distrazione ( evidenziati in grassetto) però uno solo è verosimilmente sbagliato e no tutti e due perchè mi sento che quel +2 ci deve essere per forza è quasi ovunque così...Mai come ora attendo una tua risposta dato che 1) o sto totalemente fuori 2)oppure hai sbagliato una delle due cose ma il fatto che mi sta tormentando è : quale? Se fossero sbagliati entrambi avremmo + cov e non ci sarebbe nemmeno il 2( impossibile a mio parere)....

Mi faresti un gran piacere a rivederti un attimo tutto, dopodichè non ti infastidirò più.

Ho rifatto il tutto in modo più semplice. Ora non ci dovrebbero essere più ambiguità.

Var[Z] = E[(Z-E[Z])^2]=E[Z^2 + (E[Z])^2 - 2 Z E[Z] ] =
= E[Z^2] + (E[Z])^2 - 2 (E[Z])^2 = E[Z^2] - (E[Z])^2 =
= E[ (X+Y)^2 ] - (E[X+Y])^2 = E[X^2 + Y^2 + 2 X Y] - (E[X] + E[Y])^2 =
= E[X^2] + E[Y^2] + 2 E[X Y] - ((E[X])^2 + (E[Y])^2 + 2 E[X] E[Y]) =
= E[X^2] - (E[X])^2 + E[Y^2] - (E[Y])^2 + 2 (E[X Y] - E[X] E[Y]) =
= VAR[X] + VAR[Y] + 2 COV[X,Y].

P.S: la definizione di covarianza è senza il 2.

Ciao.

Grazie del tempo che mi stai dedicando!


Io come covarianza mi trovo( applicando la definizione proprio cm mi hai insegnato tu):

E[(x-E[x])(y-E[y])]=E[xy]-E[x]E[y]-E[x]E[y]+E[xy]=
2E[xy]-2E[x]E[y]

Per piacere, mi dici dove sbaglio? Grazie

C'era un piccolo errore nella parte finale di quel che hai scritto. Il conto si fa così:
COV[X,Y] = E[(X-E[X])(Y-E[Y])] = E[X Y - X E[X] - Y E[X] + E[X] E[Y] ] =
= E[X Y] - E[X] E[Y] - E[X] E[Y] + E[X] E[Y] = E[X Y] - E[X] E[Y],
come vedi senza il due.
Spero ti sia chiaro.
Bye.

C'era un piccolo errore nella parte finale di quel che hai scritto. Il conto si fa così:
COV[X,Y] = E[(X-E[X])(Y-E[Y])] = E[X Y - X E[X] - Y E[X] + E[X] E[Y] ] =
= E[X Y] - E[X] E[Y] - E[X] E[Y] + E[X] E[Y] = E[X Y] - E[X] E[Y],
come vedi senza il due.
Spero ti sia chiaro.
Bye.

Ah sisi! Grazie! so stato proprio nu scem...e lo sapevo pure che E[x]E[y]!=E[xy], non so da dove mi sia venuto! . Grazie della disponibilità principe. Ciao.